Drehungen um den Ursprung
Bei der Suche nach der Drehmatrix ist es geschickt, die Bildpunkte von $P(1|0)$} und Q(0|1) zu bestimmen. Hier erhält man in Abhängigkeit vom Drehwinkel \alpha: P'(\cos(\alpha)|\sin(\alpha)) und Q'(-\sin(\alpha)|\cos(\alpha)).
Dies führt wieder zu zwei Bedingungen an die gesuchte Matrix, nämlich: $$ \left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} 1\\0\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \cos(\alpha)\\\sin(\alpha)\end{array}\right)\quad\mbox{und}\quad \left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} 0\\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -\sin(\alpha)\\\cos(\alpha)\end{array}\right) $$ Damit erhält man für die Drehmatrix unmittelbar: $$ \left(\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \cos(\alpha)&-\sin(\alpha)\\\sin(\alpha)&cos(\alpha)\end{array}\right) $$