Die Darstellung eines Punktes als Linearkombination von Eigenvektoren (EV)
Wenn man einen Punkt als Linearkombination von EV darstellen kann, lässt sich das Bild leicht angeben:
$$\vec{p}=\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)=a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}$$ $$\vec{p}'=A\cdot(a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2})=A\cdot a\cdot\vec{v_1}+A\cdot b\cdot\vec{v_2}=a\cdot\lambda_1\cdot\vec{v_1}+b\cdot\lambda_2\cdot\vec{v_2}$$
Wie findet man die Zerlegung von \vec{p}'?
Schreibt man die EV als Spalten einer Matrix T(\vec{v_1}\vec{v_2}) , dann ist
$$\vec{p}=a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}=T\cdot\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)$$ $$T^{-1}\cdot\vec{p}=\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)$$
Wir lassen nun eine beliebige Abbildung \vec{x}\mapsto A\cdot\vec{x} mehrmals hintereinander auf den Punkt \vec{p} los. Berechne A^{20}\cdot\vec{p}
Hier hilft die Zerlegung von \vec{p} in EV: $$\vec{p}=a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}$$
Man bestimmt zunächst a und b durch ein LGS.
Muss man das für viele Punkte durchführen, ist eine andere Schreibweise effizienter: $$a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}=\vec{p}\longrightarrow T\cdot\left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)=\vec{p}\longrightarrow \left(\begin{array}{c} a\\b\end{array}\right)=T^{-1}\cdot\vec{p}$$
Setzt man die Beziehungen ein erhält man: $$A^{20}\cdot\vec{p}=A^{20}\cdot\left(a\cdot\vec{v_1}+b\cdot\vec{v_2}\right)=a\cdot A^{20}\cdot\vec{v_1}+b\cdot A^{20}\cdot\vec{v_2}$$ Nun gilt ja A\cdot\vec{v_1}=\lambda_1\cdot\vec{v_1} und A\cdot\vec{v_2}=\lambda_2\cdot\vec{v_2}, also ist A^{20}\cdot\vec{v_1}=\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1} und A^{20}\cdot\vec{v_2}=\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}
Insgesamt: $$A^{20}\cdot\vec{p}=a\cdot\lambda_1^{20}\cdot\vec{v_1}+b\cdot\lambda_2^{20}\cdot\vec{v_2}$$ Fazit: Die Zerlegung in Eigenvektoren ist eine natürliche Methode, um Matrixpotenzen zu bestimmen. Diese Zerlegung funktioniert nicht immer ! Die Matrix A muss dazu genügend Eigenwerte und Eigenvektoren besitzen. Matrixpotenzen waren besonders bei Prozessen interessant, deshalb eignet sich dieses Verfahren sehr gut dazu.