Lösung zu Aufgabe 2 auf dem Aufgabenblatt Nr.3
Eine Matrix kann man genau dann invertieren, wenn für die Matrix A mit
$$ A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$$
gilt: $$b \cdot c \neq d \cdot a$$ und $$ a \neq 0 $$
Die dazugehörige Inversmatrix lautet dann:
$$A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{a} - \frac{b \cdot c}{a(b \cdot c - d \cdot a)} & \frac{b}(b \cdot c - d \cdot a) \\ \frac{c}(b \cdot c - d \cdot a) & \frac{-a}(b \cdot c - d \cdot a) \end{array} \right)$$
Man kann den Burch $$\frac{1}{a} - \frac{b \cdot c}{a(b \cdot c - d \cdot a)}$$ aber noch vereinfachen.
Erweitert man $$\frac{1}{a}$$ mit $$(bc-ad)$$, so erhält man den folgenden Bruch:
$$\frac(b \cdot c - d \cdot a){a(b \cdot c - d \cdot a)} - \frac{b \cdot c}{a(b \cdot c - d \cdot a)}$$
Somit kann man diese zusammenfassen zu: $$\frac(b \cdot c - d \cdot a)-b \cdot c}{a(b \cdot c - d \cdot a)$$
Weiteres Zusammenfassen bringt folgendes: $$\frac{- d \cdot a}{a(b \cdot c - d \cdot a)}$$
Schließlich noch mit a kürzen und dann steht der vereinfachte Bruch da:
$$\frac{- d}{b \cdot c - d \cdot a}$$
Also lautet die allgemeine (2x2)-Inversmatrix:
$$A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} \frac{- d}{b \cdot c - d \cdot a} & \frac{b}(b \cdot c - d \cdot a) \\ \frac{c}(b \cdot c - d \cdot a) & \frac{-a}(b \cdot c - d \cdot a) \end{array} \right)$$
Durch Ausklammern erhält man dann:
$$A^{-1} = \frac{1}{b \cdot c - d \cdot a} \cdot \left( \begin{array}{ccc} - d & b\\ c & -a \end{array} \right)$$
Also gelten nur noch folgende Bedingungen für die Invertierbarkeit von allgemeinen (2x2)-Matrizen: $$b \cdot c \neq d \cdot a$$