Hausaufgaben
- Für den 20.11.09 (Matrizenrechnung--Einstiegsaufgabe Käfer)
- Für den 26.11.09 (Matrizenrechnung-- Aufgabe0302 2,2-Matrix)
Ist die Multiplikation von Matrizen additiv?
These:$$ A\cdot(B \cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$$
$$A=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1m}\\\vdots &&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{array}\right) B=\left(\begin{array}{ccc}b_{11} & \cdots & b_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ b_{m1}&\cdots&b_{mp}\end{array}\right) C=\left(\begin{array}{ccc}c_{11} & \cdots & c_{1q}\\\vdots &&\vdots\\ c_{p1}&\cdots&c_{pq}\end{array}\right)$$
Beweis:
(D ist das Ergebnis der Ersten, E das Ergebnis der Zweiten Multiplikation)
$$ D=\left(\begin{array}{ccc}d_{11} & \cdots & d_{1q}\\\vdots &&\vdots\\ d_{m1}&\cdots&d_{mq}\end{array}\right) E=\left(\begin{array}{ccc}e_{11} & \cdots & e_{1q}\\\vdots &&\vdots\\ e_{n1}&\cdots&e_{nq}\end{array}\right)$$
$$A\cdot(B\cdot C)=A\cdot D=E$$
$$ \left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1m}\\\vdots &&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{array}\right)\cdot \left(\left(\begin{array}{ccc}b_{11} & \cdots & b_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ b_{m1}&\cdots&b_{mp}\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}c_{11} & \cdots & c_{1q}\\\vdots &&\vdots\\ c_{p1}&\cdots&c_{pq}\end{array}\right)\right)$$
$$=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1m}\\\vdots &&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}d_{11} & \cdots & d_{1q}\\\vdots &&\vdots\\ d_{m1}&\cdots&d_{mq}\end{array}\right)$$
$$=\left(\begin{array}{ccc}e_{11} & \cdots & e_{1q}\\\vdots &&\vdots\\ e_{n1}&\cdots&e_{nq}\end{array}\right)$$
e_{zs} sei ein beliebiges Element aus der Endergebnismatrix E. Es setzt sich folgendermaßen zusammen:
$$ e_{zs}=a_{z1}\cdot d_{1s}+ a_{z2}\cdot d_{2s}+ \cdots+ a_{zm}\cdot d_{ms}$$
$$ =a_{z1}\cdot(b_{11}\cdot c_{1s}+b_{12}\cdot c_{2s}+\cdots+b_{1p}\cdot c_{ps})$$ $$+a_{z2}\cdot(b_{21}\cdot c_{1s}+b_{22}\cdot c_{2s}+\cdots+b_{2p}\cdot c_{ps})$$ $$+\cdots$$ $$+a_{zm}\cdot(b_{m1}\cdot c_{1s}+b_{m2}\cdot c_{2s}+\cdots+b_{2p}\cdot c_{ps})$$
$$ =a_{z1}\cdot b_{11}\cdot c_{1s}+a_{z1}\cdot b_{12}\cdot c_{2s}+\cdots+a_{z1}\cdot b_{1p}\cdot c_{ps}$$ $$+a_{z2}\cdot b_{21}\cdot c_{1s}+a_{z2}\cdot b_{22}\cdot c_{2s}+\cdots+a_{z2}\cdot b_{2p}\cdot c_{ps}$$ $$+\cdots$$ $$+a_{zm}\cdot b_{m1}\cdot c_{1s}+a_{zm}\cdot b_{m2}\cdot c_{2s}+\cdots+a_{zm}\cdot b_{2p}\cdot c_{ps}$$
Jetzt rechnen wir das Selbe nochmal für die andere Gleichung.
$$(A\cdot B)\cdot C =D\cdot C=E$$
$$ \left(\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1m}\\\vdots &&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}b_{11} & \cdots & b_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ b_{m1}&\cdots&b_{mp}\end{array}\right) \right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}c_{11} & \cdots & c_{1q}\\\vdots &&\vdots\\ c_{p1}&\cdots&c_{pq}\end{array}\right)$$ $$ =\left(\begin{array}{ccc}d_{11} & \cdots & d_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ d_{n1}&\cdots&d_{np}\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}c_{11} & \cdots & c_{1q}\\\vdots &&\vdots\\ c_{p1}&\cdots&c_{pq}\end{array}\right) $$ $$ =\left(\begin{array}{ccc}e_{11} & \cdots & e_{1q}\\\vdots &&\vdots\\ e_{n1}&\cdots&e_{nq}\end{array}\right)$$
e_{zs} sei ein beliebiges Element aus der Endergebnismatrix. In diesem Fall setzt es sich so zusammen:
$$e_{zs}=d_{z1}\cdot c_{1s}+ d_{z2}\cdot c_{2s}+\cdots+d_{zp}\cdot c_{ps}$$ $$=(a_{z1}\cdot b_{11}+a_{z2}\cdot b_{21}+\cdots+a_{zm}\cdot b_{m1})\cdot c_{1s}$$ $$+(a_{z1}\cdot b_{12}+a_{z2}\cdot b_{22}+\cdots+a_{zm}\cdot b_{m2})\cdot c_{2s}$$ $$+\cdots$$ $$+(a_{z1}\cdot b_{1p}+a_{z2}\cdot b_{2p}+\cdots+a_{zm}\cdot b_{mp})\cdot c_{ps}$$ $$=c_{1s}\cdot a_{z1}\cdot b_{11}+c_{1s}\cdot a_{z2}\cdot b_{21}+\cdots+c_{1s}\cdot a_{zm}\cdot b_{m1}$$ $$+ c_{2s}\cdot a_{z1}\cdot b_{12}+c_{2s}\cdot a_{z2}\cdot b_{22}+\cdots+c_{2s}\cdot a_{zm}\cdot b_{m2}$$ $$+\cdots$$ $$+c_{ps}\cdot a_{z1}\cdot b_{1p}+c_{ps}\cdot a_{z2}\cdot b_{2p}+\cdots+c_{ps}\cdot a_{zm}\cdot b_{mp} $$
Die einzelnen Faktoren, aus denen sich e_{zs}zusammensetzt, entsprechen einander genau. Somit ist
$$ \left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1m}\\\vdots &&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{array}\right)\cdot \left(\left(\begin{array}{ccc}b_{11} & \cdots & b_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ b_{m1}&\cdots&b_{mp}\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}c_{11} & \cdots & c_{1q}\\\vdots &&\vdots\\ c_{p1}&\cdots&c_{pq}\end{array}\right)\right)= $$ $$ \left(\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1m}\\\vdots &&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}b_{11} & \cdots & b_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ b_{m1}&\cdots&b_{mp}\end{array}\right) \right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}c_{11} & \cdots & c_{1q}\\\vdots &&\vdots\\ c_{p1}&\cdots&c_{pq}\end{array}\right)$$
q.e.d.