Matrix-Vektor-Multiplikation

Definition: Ein rechteckiges Zahlenschema mit n Zeilen und m Spalten nennt man (n,m)-Matrix oder n\times m-Matrix (n "Kreuz" m).

M=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1m}\\\vdots &&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{array}\right)

Für das Matrixelement in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte schreibt man a_{ij}. Die Matrix wird meist mit einem Großbuchstaben bezeichnet und das Zahlenschema in (runde oder eckige) Klammern gesetzt.

Definition: Eine (n,1)-Matrix nennt man auch n-dimensionalen Vektor oder genauer Spaltenvektor. Eine (1,m)-Matrix heißt entsprechend Zeilenvektor. Wir verwenden für Vektoren kleine Buchstaben mit Pfeilen darüber.

\vec{v}=\left(\begin{array}{c}v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{array}\right)

Definition: Das Produkt aus einer (n,m)-Matrix A und einem m-dimensionalen Vektor \vec{v} ist folgendermaßen erklärt:

A\cdot\vec{v}=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1m}\\\vdots &&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}v_1 \\ \vdots \\ v_m \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}a_{11}\cdot v_1 + a_{12}\cdot v_2 + \cdots + a_{1m}\cdot v_m\\ a_{21}\cdot v_1 + a_{22}\cdot v_2 + \cdots + a_{2m}\cdot v_m\\ \vdots \\ a_{n1}\cdot v_1+ a_{n2}\cdot v_2+\cdots +a_{nm}\cdot v_m \end{array}\right)

Das Matrix-Vektor-Produkt ist also selbst wieder ein Vektor, allerdings mit n Einträgen.

Beispiele: a) In unserem Prozess mit der Käuferwanderung erhielten wir eine Übergangsmatrix M mit den Übergangsraten und einen Startvektor \vec{k}_0 mit den Käuferzahlen zu Beginn: $$ M = \left( \begin{array}{ccc}0,8&0,3&0,2\\0,1&0,5&0,1\\0,1&0,2&0,7\end{array} \right) \qquad \vec{k}_0=\left(\begin{array}{c}24000 \\12000\\24000\end{array} \right) $$ Zu den Käuferzahlen der nächsten Woche kam man dann durch Multiplikation der Matrix mit dem Käufervektor: $$ \vec{k}_1=M\cdot\vec{k}_0 = \left( \begin{array}{ccc}0,8&0,3&0,2\\0,1&0,5&0,1\\0,1&0,2&0,7\end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c}24000 \\12000\\24000\end{array} \right)= \left(\begin{array}{c}27600 \\10800\\21600\end{array} \right) $$ b) \left(\begin{array}{ccc}2 & 5 & -3 \\ -1 &2&7\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -6 \\ 8\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccccc} 2\cdot 12& +& 5\cdot(-6)&+&(-3)\cdot8\\(-1)\cdot12&+&2\cdot(-6)&+&7\cdot 8\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-30\\32\end{array}\right)