<< Matrizen06 >>

Addition von Vektoren und Matrizen

Definition: Sind \vec a und \vec b zwei Vektoren mit jeweils n Einträgen, so definiert man die Addition von \vec a und \vec b komponentenweise:

$$ \vec{a} + \vec{b} = \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {a_1 + b_1} \\ {a_2 + b_2} \\ \vdots \\ {a_n + b_n} \end{array}\right)$$

Man kann auch eine komponentenweise Addition von Matrizen definieren. Die Matrizen müssen gleiche Spalten- und Zeilenzahl besitzen.

Definition: Seien A und B zwei (n \times m)-Matrizen. Dann wird die Summe von A und B komponentenweise erklärt:

$$A + B = \left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots &\ a_{1m} \\ \vdots & &\vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm}\end{array} \right) + \left(\begin{array}{ccc} b_{11} & \cdots & b_{1m} \\ \vdots & &\vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nm} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ccc} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1m} + b_{1m} \\ \vdots & &\vdots \\ a_{n1}+ b_{n1} & \cdots & a_{nm} + b_{nm} \end{array} \right)$$

Eigenschaften von Addition und Multiplikation

  1. Die Addition ist kommutativ, d.h. A + B = B + A zum Beweis
  2. Die Addition ist assoziativ, d.h. (A + B) + C = A + (B + C) zum Beweis
  3. Die Addition und Multiplikation von Matrizen sind distributiv, dh. es gilt:
(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C \rightarrow Beweis? und C \cdot (A + B) = C \cdot A + C \cdot B zum Beweis?
  1. Die Multiplikation ist auch assoziativ, d.h. (A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)\rightarrow Beweis?
  2. Die Multiplikation ist im allgemeinen nicht kommutativ
  3. Die Skalarmultiplikation ist ebenfalls distributiv:
Für r,s \in \mbox{IR} und Matrizen A und B gilt:
r \cdot (A + B) = r \cdot A + r \cdot B\rightarrow Beweis? und (r+s) \cdot A = r \cdot A + s \cdot A zum Beweis?

<< Matrizen06 >>