Nicos Seite
Hausaufgabe vom 25.Januar 2010, 06/4:
Aus der Mittelstufe weiß man (möglicherweise), dass man eine Drehung durch zwei Spiegelungen an geeigneten Achsen ersetzen kann. Zeige dies mit Hilfe von Matrizen.
Sei S_\alpha die Matrix für die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel \alpha: $$ S_\alpha=\left(\begin{array}{cc}cos(2\alpha) &sin(2\alpha) \\ sin(2\alpha) & -cos(2\alpha) \end{array}\right) $$ und S_{\beta} die Matrix für die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel \beta: $$ S_\beta=\left(\begin{array}{cc}cos(2\beta) &sin(2\beta) \\ sin(2\beta) & -cos(2\beta) \end{array}\right) $$ Es soll also gelten: S_\beta\cdot S_\alpha\cdot\vec{p} = D\cdot \vec{p}
Anstatt beide Matrizen nacheinander auf den Vektor \vec{p}=\left(x\atop y\right) loszulassen, kann man auch das Produkt S_D der Matrizen nehmen, denn die Multiplikation von Matrizen ist assoziativ. Dies sähe dann so aus: $$ S_\beta\cdot S_\alpha = S_D=\left(\begin{array}{cc}cos(2\beta)\cdot cos(2\alpha)+sin(2\beta)\cdot sin(2\alpha) &cos(2\beta)\cdot sin(2\alpha)-sin(2\beta)\cdot cos(2\alpha) \\ sin(2\beta)\cdot cos(2\alpha)-cos(2\beta)\cdot sin(2\alpha) & sin(2\beta)\cdot sin(2\alpha)+cos(2\beta)\cdot cos(2\alpha) \end{array}\right) $$
Nach den Additionstheoremen ergibt sich daraus: $$ S_D=\left(\begin{array}{cc}cos(2\beta-2\alpha) &-sin(2\beta-2\alpha) \\ sin(2\beta-2\alpha) & cos(2\beta-2\alpha) \end{array}\right) $$
Nimmt man nun die allgemeine Form der Drehmatrix $$D=\left(\begin{array}{cc}cos(\gamma) &-sin(\gamma) \\ sin(\gamma) & cos(\gamma) \end{array}\right)$$ und vergleicht, sieht man, dass S_\beta\cdot S_\alpha = D wenn gilt: \gamma = 2\beta -2\alpha = 2(\beta-\alpha )
=> Eine Spiegelung an zwei Ursprungsgeraden mit den Winkeln \alpha und \beta, entspricht genau dann einer Drehung um den Drehmittelpunkt (0|0) mit dem Winkel \gamma, wenn \gamma = 2(\beta-\alpha ), also wenn der Drehwinkel genau doppelt so groß ist, wie die Differenz der Winkel der Ursprungsgeraden.
q.e.d.