Aufgabe 2 Untersuche, wann eine (2,2)-Matrix invertierbar ist und bestimme allgemein die Inverse.!!
$$A=\left(\begin{array}{cc}a &b \\ c & d \end{array}\right)$$
Inverse (Errechnet mit dem Gaußverfahren):
$$\left ( \begin{array}{cc} a&b&|&1&0\\c&d&|&0&1 \end{array} \right) \begin{array}{c} |:a\\\quad \end{array}$$ Die erste Spalte durch "a", damit an der ersten Stelle die 1 steht. (a ungleich 0)
$$\left ( \begin{array}{cc} 1&\frac{b}{a}&|&\frac{1}{a}&0\\c&d&|&0&1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \quad \\|-c \cdot I \end{array}$$
Die zweite Spalte -c und mal die Erste, damit an der ersten Stelle hier eine 0 steht.
$$\left ( \begin{array}{cc} 1&\frac{b}{a}&|&\frac{1}{a}&0\\0&\frac{ad-bc}{a}&|&-\frac{c}{a}&1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \quad \\|\cdot \frac{a}{ad-bc}\end{array}$$
Die zweite Spalte mit dem Kerbruch des 2ten Wertes multiplizieren um 1 zu erhalten.
$$\left ( \begin{array}{cc} 1&\frac{b}{a}&|&\frac{1}{a}&0\\0&1&|&-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc} \end{array} \right) \begin{array}{c} |-\frac{b}{a} \cdot II \\ \quad\end{array}$$
Die erste Spalte - b/a mal die Zweite um an der zweiten Stelle eien 0 zu erhalten.
$$\left ( \begin{array}{cc} 1&0&|&\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc}\\0&1&|&-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc} \end{array} \right)$$
Dies ist nun die Inveres. Es fällt auf, das in jedem Bruch ad-bc im Nenner steht. Weshalb "ad-bc" ungleich 0 sein muss und deshalb auch "ad" ungleich "bc".