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Matrizenmultiplikation

Definition: Sei A eine (n,m)-Matrix und B eine (m,p)-Matrix. Dann ist das Matrixprodukt von A und B folgendermaßen erklärt: \[ A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \cdots & a_{1m}\\\vdots &&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nm}\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}b_{11} & \cdots & b_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ b_{m1}&\cdots&b_{mp}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}c_{11} & \cdots & c_{1p}\\\vdots &&\vdots\\ c_{n1}&\cdots&c_{np}\end{array}\right) \] wobei c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+ a_{i2}\cdot b_{2j}+\cdots +a_{im}\cdot b_{mj}\quad 1\leq i \leq n \quad 1\leq j \leq p

Die Matrix B muss also genau so viele Zeilen haben, wie die Matrix A Spalten hat! Die Ergebnismatrix hat so viele Zeilen wie A und so viele Spalten wie B.

Ist A eine quadratische Matrix, so hat sie genau so viele Zeilen wie Spalten. Dann kann man A mit sich selbst multiplizieren und Matrixpotenzen bilden. \[ A^2=A\cdot A\; ,\; A^3=A\cdot A\cdot A\; , \dots \]

Beispiele: a) In der Aufgabe zur Einkommensverteilung war die Matrix für den Zeitraum von 2 Jahren gesucht. Wenn A die Übergangsmatrix für ein Jahr ist, muss man dazu A^2berechnen: \[ A^2=A \cdot A = \left( \begin{array}{ccc} 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,8 & 0,2 \\ 0 & 0,1 & 0,7\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,2 & 0,8 & 0,2 \\ 0 & 0,1 & 0,7\end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0,66 & 0,12 & 0,12 \\ 0,32 & 0,68 & 0,32 \\ 0,02 & 0,15 & 0,51\end{array} \right) \] Erklärung:

Man erhält das Element in der dritten Zeile und zweiten Spalte, indem man die dritte Zeile der ersten (linken) Matrix mit der zweiten Spalte der zweiten Matrix komponentenweise multipliziert und die Produkte addiert: 0,15=0 \cdot 0,1+0,1 \cdot 0,8 + 0,7 \cdot 0,1

b) \left(\begin{array}{cc} 1&4\\3&-5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} -2&7\\0&-1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1\cdot (-2)+4\cdot 0&1\cdot 7 + 4\cdot (-1)\\3\cdot (-2)+(-5)\cdot 0 & 3\cdot 7+(-5)\cdot (-1)\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} -2&3\\-6&27\end{array}\right)

c) \left(\begin{array}{c}2 \\ 0,5\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ccc}1 & 3& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2 &6&10\\0,5&1,5&2,5\end{array}\right)

d) \left(\begin{array}{ccc}1 & 3& 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2 \\ 0,5 \\-3\end{array}\right) =1\cdot 2+3\cdot 0,5+5\cdot (-3)=-11,5

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